Αρχή της απροσδιοριστίας

Η αρχή της απροδιοριστίας ή διαφορετικά αρχή της αβεβαιότητας είναι βασικό αξίωμα της Κβαντικής Μηχανικής. Διατυπώθηκε για πρώτη φορά το 1927 από τον Βέρνερ Χάιζενμπεργκ (Werner Heisenberg, 1901 - 1976). Σύμφωνα με την αρχή της απροδιοριστίας είναι αδύνατο να μετρήσουμε με απεριόριστη ακρίβεια, τη θέση και την ορμή ενός σωμάτιου ταυτόχρονα. Εν αντιθέσει λοιπόν με την αρχή της αιτιοκρατίας, σύμφωνα με την αρχή της απροσδιοριστίας υπάρχουν γεγονότα των οποίων η εκδήλωση δεν υπαγορεύεται από κάποια αιτία.

Εκφράσεις

Η βασική έκφραση της αρχής της απροσδιοριστίας είναι αυτή του 1927:

Εάν μετράμε τη θέση ενός σωματίου με αβεβαιότητα Δx και ταυτόχρονα μετράμε την ορμή του με αβεβαιότητα Δp, τότε το γινόμενο των δύο μεγεθών δεν μπορεί να είναι μικρότερο από έναν αριθμό της τάξης του $\hbar$ (όπου $\hbar = h/2\pi$ ). Δηλαδή:

$\Delta x\cdot\Delta p\ge\frac{\hbar}{2}$

Οι αβεβαιότητες των μεγεθών θέσης και ορμής Δx και Δp ισούνται με τη διασπορά τους γύρω από τη μέση τους τιμή. Ο ίδιος ο Χάιζενμπεργκ εξήγησε ότι η ελάχιστη αβεβαιότητα στη μέτρηση των Δx και Δp δεν είναι πειραματικό σφάλμα, δεν οφείλεται δηλαδή στις ατέλειες των πειραματικών συσκευών, αλλά προκύπτει από την δομή της ύλης αυτής καθ' εαυτήν. Πιο συγκεκριμένα, η σχέση αβεβαιότητας είναι άμεση συνέπεια του κυματοσωματιδιακού δυϊσμού της ύλης. Σε θεωρητικό επίπεδο, είναι αποτέλεσμα των μεταθετικών σχέσεων ανάμεσα στους κβαντομηχανικούς τελεστές θέσης και ορμής.

Η σχέση αβεβαιότητας ισχύει για μεγέθη που μετρούνται στον ίδιο άξονα, για παράδειγμα για το ζευγάρι Δx_x, Δp_x. Όλα τα υπόλοιπα ζεύγη μεγεθών σε διαφορετικούς άξονες μπορούν να μετρηθούν ταυτόχρονα με απόλυτη ακρίβεια.

Υπάρχουν και άλλες εκφράσεις της αρχής της απροδιοριστίας. Μια από αυτές είναι η εξής:

$\Delta E\cdot\Delta t\ge\frac{\hbar}{2}$

Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει όριο στην ακρίβεια που μπορούμε να μετρήσουμε την ενέργεια ΔE ενός συστήματος, αν το σύστημα παραμένει σε μια δεδομένη ενεργειακή κατάσταση για χρόνο Δt.

Το θεώρημα

Από μαθηματικής σκοπιάς η αρχή της απροσδιοριστίας ισοδυναμεί με ένα θεώρημα για τους τελεστές.

Συγκεκριμένα έστω Α και Β αυτοσυζυγείς τελεστές (δηλαδή Α⁺=A). Οι τελεστές στην κβαντομηχανική αντιστοιχούν στις φυσικές ποσότητες όπως η θέση, η ορμή, η ενέργεια, η στροφορμή μιας κατάστασης. Άν έχουμε μια κατάσταση $ψ$ (ή επίσης γράφεται $|\psi \rangle$ ). Τότε η "μέση τιμή" του μεγέθους υπολογίζεται ως $(ψ, A ψ)$ (εσωτερικό γινόμενο της κατάστασης $ψ$ με την κατάσταση $A ψ$ ) πράγμα που γράφεται ποιο φυσικά ως $\langle \psi |A| \psi \rangle$ .
Δηλαδή $\langle A \rangle = \langle \psi |A| \psi \rangle$ .

Τώρα ο τελεστής $A_0 = A - \langle A \rangle$ έχει μέση τιμή μηδέν. Μπορούμε να ορίσουμε την αβεβαιότητα του A ως:

$\Delta A = \sqrt{\langle A_o^2 \rangle} = \sqrt{\langle A^2 \rangle - \langle A \rangle ^2}$

Μια άλλη χρήσιμη έννοια είναι ο μεταθέτης συγκεκριμένα γράφουμε $[A , B] = AB - BA \,$ (από κβαντομηχανικής άποψης το AB σημαίνει ότι πρώτα κάνουμε την μέτρηση του B και μετά του Α ενώ ΒΑ σημαίνει πρώτα του Α και μετά του Β). Γενικά ισχύει:

$|\langle AB \rangle| \leq \sqrt{\langle A^2\rangle \langle B^2 \rangle}$

τώρα ισχύει

$|\langle [A,B] \rangle| = |\langle[A_o,B_o]\rangle | \leq 2 |\langle A_o B_o\rangle| \leq 2 \Delta A\Delta B$

Αυτό μας δίνει τον γενικό τύπο της αρχής της αβεβαιότητας

$\Delta A\Delta B \geq \frac{1}{2}|\langle [A,B] \rangle|$

Λανθασμένη γενίκευση

Λανθασμένα πολλές φορές, γενικεύεται η αρχή της απροδιοριστίας σε φαινόμενα της καθημερινής ζωής, όπως και η Θεωρία της Σχετικότητας, στο σύνολο της ή σπανιότερα σε τμήματά της. Τόσο η αρχή της απροσδιοριστίας, όσο και η θεωρία της σχετικότητας, αναφέρονται σε φαινόμενα που συμβαίνουν σε σχετικά πολύ μικρά μήκη ή πολύ μεγάλες ταχύτητες, αντίστοιχα. Αυτό έχει ως συνέπεια η ισχύ τους να περιορίζεται κατά πολύ μεγάλο βαθμό στην Κλασσική Φυσική, η οποία και περιγράφει τα φαινόμενα που γίνονται αντιληπτά από εμάς καθημερινά. Ειδικότερα για την αρχή της απροσδιοριστίας, αυτό μπορεί να γίνει άμεσα αντιληπτό από την μαθηματική έκφρασή της: η σταθερά $\hbar$ έχει πολύ μικρή τιμή (1,054 572 66 × 10^-34 ± 66 J·s) συγκρινόμενη με τις αποστάσεις και τις ταχύτητες που μπορούμε να μετρήσουμε πρακτικά έξω από το χώρο του εργαστηρίου.